重新学习

保研面试-数理

再看一遍发现自己是真的不适合学数学，告辞

Posted by tianchen on September 17, 2019

对于这两门科目，是大一的基础课程,客观看来对于保研面试没有什么太大作用，所以只会提取一些比较重要的概念做记录，其他的就只做罗列。权当回忆往昔当年还是会认真学习的

数学分析

数列极限

  • 极限的定义： 给定数列{an}，如果满足对任意e>0，都存在自然数N，让|an-a|< e，则称{an}收敛于a，或者是以a为极限
    • 如果收敛，极限唯一
    • 具有保序性
  • 夹逼： 有an< bn< cn,liman=bn=cn
  • 数列有界 - 既有上界，又有下界
    • 单调有界一定有极限
      • 数列的子列收敛->收敛
    • 单调的要么存在极限要么到无穷
  • Caucy收敛定理： 数列收敛的充分必要条件是{an}是基本列
    • 基本列（柯西列）：对任意e>0都存在N，对任意的m>n>N，有|am-an|< e 个人理解就是往无穷跑了，这时候变动无穷小
    • 列紧性：任何有界数列都存在收敛的子数列（这个东西的名字叫Bolano-Weierstass不行过了三年我看这个还是想笑）
  • 集合上下确界
  • 有限覆盖定理

函数极限与连续

  • 映射 f:A->B
    • 一一映射 - 即为单射，又为满射
  • 函数的相关定义
  • 函数极限 函数f(x)在去心领域内有定义，并且在任意小的区间内，任意趋近于某个值（懒得严谨的记内容了）
    • 局部有界，局部保号
    • Heine定理 f(x)存在极限的充要 —— 对于任意一个数列有limxn存在
  • 函数（局部）连续在x0处左右连续都满足
    • 左右连续（左右极限等于当前的值）
    • 在开区间上连续+左右极限点处连续->闭区间连续
    • 单调函数一定存在反函数
    • 初等函数在其定义域上都连续
    • 间断点
      1. 第一类：左右极限都为有限数但不一样，是跳跃间断点； 如果左右极限相等但是和函数值不等，叫做可取间断点
      2. 第二类：左右极限有一个不存在
  • 函数的一致连续：在区间I上有定义，对任意e>0,存在仅与e有关的实数g(e)>0,对区间内任意两点，有|x1-x2|< e
    • 一致连续和连续的区别：
      • 连续 f(x)-f(c)逐点； 一致连续与边上的点f(x2)-f(x1)
      • 可能出现的case是开区间的边缘上飞掉
    • Cantor - 在闭区间上连续 -> 一致连续
    • 有界闭区间上的连续函数一定有界
    • 在区间内一致连续 -> 区间内有界
    • 有界闭区间上的连续函数一定可以取到max min
    • 有界闭区间上的连续函数，如果区间端点异号，一定存在零点
      • 推： 广义介值定理（把上面的0换成实数c）
  • 无穷大与无穷小阶数的比较

函数的导数

  • 在开区间内部任意一点可导-在区间上可导，若分别在区间端点左右可导，那么闭区间可导
  • 导数四则运算，反函数，复合函数的导数
  • 高阶导数(高阶导数的写法对于当年的我甚至很难，我是个弱智)
  • Leibniz求导法则 对(fg)^{n} = sum(C^n_k)f^{n-k}g^k
  • 隐函数：F(x,y)=0对任意x，总存在唯一的y满足方程，那么F(x,y)=0就是一个隐函数 怎么感觉就是一种特殊的方程…是一个带一个未知数且有唯一解的参数方程
    • 在两边求导，解dy/dx
  • 参数方程，利用反函数的求导法则，求dt/dx(dy)
  • 微分中值定理
    • 极值点可以有无穷多个
    • Fermat引理 极值处导数为0（而且这个点被称为驻点）
    • Rolle中值在[a,b]连续，在(c,d)可导，且有f(a)=f(b)那么一定存在一点在(a,b)让导数为0
      • 3大条件
        1. 闭区间连续
        2. 开区间可导
        3. 区间端点处函数值相等
      • 广义Rolle，把区间的一个端点变到无穷
    • Lagrange中值定理闭区间连续，开区间可导，一定存在f(b)-f(a)/(b-a)=f`
    • Caucy中值 fx，gx 闭区间连续，开区间可导 f(b)-f(a)/(g(a)-g(b0)) = f/g
  • 严格单调，闭区间连续，开区间可导，并且在区间内有有限多个值导数是某个符号
  • 严格凸：f(x1+x2)< f(x1)+f(x2)
    • 拓展到N维就是Jenson不等式
  • L`Hospital法则 高中叫的开心开心洛必达，谁能想到是这么写
    • 近似商的极限等于分子分母导数的商

Taylor公式与逼近

  • 可微等价于可导,tayloe公式可以应用于差值逼近，可以获得比求导更好的效果
  • 只有余项趋近0的时候函数才可以做泰勒展开
  • 带Peano余项的Taylor定理 余项o(x-x0)^n
    • 在零点处的叫Maclaurin展开
  • 带Lagrange和Caucy余项 f^(n+1)/(n+1)!(x-x0)^n

函数积分

  • 这里有好多Trick，当年练了一万次，但是面试估计不太会问
  • 可积的必要条件有界
  • 闭区间上连续 -> 可积
  • 绝对可积首先在闭区间上可积，积分的绝对值 < 绝对值的积分
  • Newton-Leibniz公式 intf(x) = F(a)-F(b)
  • 积分中值定理
    • 第一： fx，gx在闭区间上连续，gx不变号，那么gx可以提出来
    • 第二： fx在闭区间上可积，gx非负递减有界，gx提出来
    • 第三： fx闭区间可积，gx为单调有界，gx提出来，分两段
  • 广义积分收敛性
    • fx非负，积分收敛的充要是F(x)有界
    • 广义积分Caucy收敛: 对于任意e>0,存在M>0，有x1，x2，有积分的绝对值< e,有fx积分收敛
      • 绝对收敛的广义积分一定收敛，但是条件收敛就未必
    • Dirichlet判别 1)F(A)在a到无穷有上界 2） gx在a到无穷单调，且lim=0，那么int(fxgx)收敛
    • Abel判别 1)int(fx)收敛 2） gx在a到无穷单调有界
      • 都是把一个函数拆分成两个的积，然后和标准的比较

数项级数

  • an是级数，sn为n个的部分和
  • 部分和序列lim存在，则级数收敛
    • Caucy收敛定理任意e>0,存在N,对任意p,n到n+p的和小于e
    • 绝对值的sum收敛。则原序列收敛s
      • 绝对和条件收敛 绝对值发散但是原级数收敛，叫做条件收敛
    • sum(1/n^p)在p=1时候为标准序列，可以用来比较判别法
    • 正项数列收敛的充要为：部分和序列有界
      • Caucy判别法 \(\lim_{n \to \infty}{\sqrt[n]{a_n}} =q\) q< 1收敛>
      • D’Alembert判别 an是正项级数，那么如果 \(\lim_{n\to\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=q\)
    • Liebniz判别对交错级数(-1)^n，an单调递减，且lim=0，则收敛
    • Dirichlet判别{bk}单调递减且lim为0，ak的部分和绝对值有界
    • Abel判别{bk}单调有界，sum_ak收敛
  • Caucy积分判别法 若fx递减，sumf(x)与intf(n)同时收敛或发散
  • 函数序列的一致收敛对任意e，都有与e有关的N，n>N|fn(x)-f(x)|< e
    • 同样有Abel & Dirichlet判别且更加广泛，上面的lim换成一致收敛
  • 幂级数

收敛可以在不同点速度不一，但是一致收敛在各点速度类似;逐点收敛就是在某些点收敛的太慢了

多变量函数的极限/微分

  • 重极限、累次极限
  • 偏导数
    • 多元可导可微不等价
  • 多元Taylor
  • 方向导数与梯度
  • 二次型 X = [x1,x2,x3,x4,x5,x6...] A = [a11 a12...a1n;a21...ann] X^T*A*X 叫做二次型，A是系数矩阵
    • 正定矩阵（假设A是对称矩阵） 对任意x，二次型都>0，那么A是正定矩阵
      • 矩阵A是正定的充要是所有的顺序主子式(任意的k，方形det)都>0
    • 二阶连续偏导数矩阵叫Hessian矩阵
      • 决定了函数的极值存在与凹凸性
      • Hessian矩阵的特征值，描述了该点附近特征向量方向上函数的凹凸性，特征值越大，越陡
      • Hessian矩阵正定，则存在最大值
    • 极值存在定理在P0点某个领域存在偏导数而且P0是极值点，那么P0是稳定点，如果P0是稳定点，如果Hf(P0)是正(负)定矩阵，P0是极大(小)值
  • n个函数的n阶偏导数组成的nxn矩阵 - Jacobi矩阵/行列式
    • 用于求空间切线与切平面方程
    • 用于简化多元复合函数的求导(Commonly Used In BackProp)
  • 多元函数得到极值点的必要条件是各高阶导数值在该点为0，求解复杂
    • 由于函数极值的必要条件是这一点的微分为0，引入了Lagrange函数
    • $L(x_1,x_2,…x_n;\lambda_1,\lambda_2…)=f(x_1,x_2…)+\sum_{j=1}^{m}{\lambda_i\phi_j(x_1,x_2…)}$
    • Lagrange乘数法用来处理在多约束条件下的高维函数最值
  • 两类曲线/面积分
    • 第一类： 对弧长积分，都是标量
    • 第二类： 对坐标积分，带方向，相当于做功
  • Green公式 环线积分 = 散度的二重积分
  • Gauss公式 面积分 = 散度的三重积分
  • Stokes公式 环线积分 = 旋度
  • 统一形式 （1-D Newton-Leibniz;2-D Green;3-D Gauss）
    • 统一为了Stokes - 高次的微分形式在给定区域内的积分等于低阶的区域积分 非常的Elegant

线性代数

线性方程组

  • 一个线性方程组的系数(aij)和常数项(bj)共同组成的矩阵叫增广矩阵(Augmented Matrix)
  • 初等变换
    1. Switch
    2. *K
    3. A*K + B
      • 一个单位阵(首先是对角阵)经过若干次初等变换之后的矩阵，叫做初等矩阵
      • 初等变换不改变秩
  • 常数项(b)全为0的叫齐次线性方程组(homogeneous linear equation)
    • 必然有一个零解(平凡解)
    • 对非其次方程组，只要得到Ax=b的一个解X1，将其与AX=0的所有解相加就可以得到AX=b的所有解
  • 有唯一解 - 系数矩阵满秩
    • 各列线性无关
    • 克拉默Cramer法则 ：用b去替代det的第k列
      • 3Blue1Brown有一个可视化解释这个法则
  • 线性相关（对向量而言），如果一组线性相关，那么某个向量就可以*被组里的其他向量线性表示
    • N维空间最多存在N个线性无关的向量 – 用N个基一定能够表示N维度空间
  • 坐标变化，在另外一组基下的坐标，经过的一个变化叫做过渡矩阵(Transition Matrix)
  • 秩Rank
    • 极大线性无关组，某一个集合中的向量都线性无关，如果加入该集合外的任意一个向量，这个集合就不再线性无关了。
    • 极大线性无关组所包含的向量个数
    • 如果两个向量集合互为线性组合，那么两者等价
    • 有行和列的秩，如果两者一致，那么就是矩阵的秩
    • 齐次线性方程组的解空间的维度 N-Rank(A)

行列式 Determinant

  • 初等变换 1. 更换行 *(-1) 2. 提取公因式，乘系数 3. 行之间加减，不变
  • 转置矩阵，不改变
  • 行列式为0，该矩阵(变化)是退化的(De-generate)
  • 由\(\triangle=a_{ij}*(-1)^{i+j}*M_{ij}\)
    • 余子式在Det中将i行j列删除之后的Det(Mij)叫元素aij在Det中的余子式
    • \((-1)^{i+j}M_{ij}=A_{ij}\) 则叫做代数余子式(Algebraic Cofactor)
    • 余子式其实是一个Det，也就是一个值，会基于原矩阵降维一度，这样方便计算(一个三维的行列式，转化为3个常数乘上三个二维的Det)
    • 本质上是从一个det中提取一个元素出来
  • Vandermonde矩阵-各列为几何级数(多项式)的矩阵

矩阵 Matrix

  • 单位矩阵(对角阵，全为1) 纯量矩阵(Scalar Matrix) 全为k 对角阵Diagonal
  • A^T=A对称 A^T=-A反对称(anti-symmetric)斜对称(skew symmetric matrix)
  • 逆矩阵 $(AB)^(-1) = B^{-1}*A^{-1}$
    • 逆矩阵的行列式是倒数
  • 每个元素的代数余子式(与原本矩阵一样大)组成的叫做A*(伴随矩阵Adjacent Matrix)
    • AA* = A*A = |A|I
  • 初等方阵都是可逆方阵，每个可逆方阵都可以分解为有限个初等方阵的乘积
    • 每个m*n的矩阵A都可经过有限次初等变换得到 D = [Ir … 0]
  • 如果A可以经过有限次初等变换变为B，那么AB相抵(Equivalent)或者是等价
  • Caucy-Schwarz不等式(我也想知道为啥会出现在这里)
    • (a_1^2+...a_n^2)(b_1^2+...b_n^2) > (a_1b_1+...+a_nb_n)^2
  • 正交化
    • 单位向量组成的基就是标准正交基
    • 一个向量组{a1,…am}其中任意两个元素ai，aj的内积为Aij的矩阵叫做度量方阵(Metric Matrix)也称为Gram方阵
      • 对任何一个矩阵 A^TA是其列向量组的 Gram方阵
    • 正定对一个的实对称方阵，对任意X，都有X^T*S*X>0则是正定的(Positive SemiDefinite) (可能=0的话叫做半正定)
      • 正定的特征值都为正
      • 正定的形式XTAX与二次型的形式对应，每一个二次型都对应着一个对应的参数矩阵A，N元正定的二次型其实就是N维空间内的抛物面
        • 这样的定义与多维函数的极点(当这个二次型矩阵是Hessian矩阵的实时候)从存在与凸优化对应上了
        • 🤔对应的，半正定有点像马鞍？是否对应着鞍点？
    • 正交 A^(-1)=A^T叫做正交方阵(Orthogonal Matrix)continuity
  • 相合 AB都是n阶的，存在P，让B=P^T*A*P，那么B与A相合(congruent)
    • 如果能够求出P将G=A^T*A相合到P^T*G*P=I那么B=PA的列向量就是A的列向量改造成的标准正交向量组
  • 二次型 (Quadric Form) X^T*A*X A是一个参数矩阵，X是一个Vector
    • 矩阵A是正定的充要是所有的顺序主子式(任意的k，方形det)都>0
  • Sylvester惯性定律 实对称方阵S通过两个不同的可逆方阵P，P1相合到的标准型（D = [Ir … 0]）一样
  • 特征方程
  • 相似 AB都是n阶的，存在P，让B=P^(-1)*A*P，那么B与A相似
    • 同一个线性变化在不同基底下的矩阵是相似矩阵
    • 对角化的本质就是换了一组基来表示一个矩阵(线性变换)
    • 他们特征值相同
  • 迹(trace) 方阵A的对角元之和
    • 迹相同是矩阵相似的必要条件
  • Jordan标准型 如果两个矩阵具有相同的特征值，但是不相似
    • Jordan块对角元素相等且上方斜线都是1，对角元素均为Jordan块
    • 矩阵没有足够的特征向量，不能对角化，只能用Jordan标准型，接近对角矩阵，相同Jordan型划分的矩阵才是相似矩阵

我感觉没有搞明白知识体系…

复变函数

  • 多连通区域柯西积分(用一个小圆绕过极点做围线积分)
  • 幂级数 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-a)^n\)
    • 收敛判别 1. Caucy \(\sqrt[n]{a_n}\) 2. D’Alembert 正项\(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)
    • 幂级数的收敛域是一个圆
    • 泰勒级数是把一个函数在某一点展开成幂级数
  • 留数定理：
    • 留数:在极点处的逆时针方向围线积分
    • 大区域的围线积分等于内部各个留数之和
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