重新学习

保研面试-信号

恰饭的手艺

Posted by tianchen on September 17, 2019

信号与系统 & DSP

  • 实数信号的频谱是共轭对称的；解析信号(我们研究的)信号只有正频率部分
  • 系统分类
    1. 因果：Response After Excitation <==> 单位冲激响应 h(t) = h(t)u(t)
      • 非因果:理想低通滤波器
    2. 稳定性；BIBO <==> 单位冲激响应绝对可积分
    3. 线性： 叠加&均匀
    4. 时变: 响应会随着激励到达时间不同而改变
    5. 物理可实现: 因果稳定 »> 系统频率响应的实部和虚部构成一对Hilbert变换对
    6. LTI: 线性时不变
      • 齐次性 xk 可加性+b
      • 系统对信号的影响可以看做是卷积 卷积来处理系统的先决条件
      • LTI系统不会产生新的频率分量 （产生新的频率分量就非线性了）
      • 性质可以完全由频率特性函数所表示
      • 有特征函数e^jwn，而H(e^jwn)特征值也叫做系统函数
      • 频域特性是实数 - 零相移系统 ———— h[n]是一个偶函数
      • 极点靠近单位圆，极大值大；零点主要影响最小值
      • 群延迟 (-1)*(相频特性关于w的导数)
    7. 广义线性相位系统
      • 实对称序列必定线性相位
      • 由于线性相位，所以群延时(相频特性的导数)为常数
      • 可以找到4种
      Type 定义 群延迟 幅频特点 特点
      I h[M-n]=h[n]关于M/2偶对称，且M为偶数 M/2 关于mpi偶对称 频率响应关于0,pi,2pi偶对称,可做所有种类滤波器
      II h[M-n]=h[n]关于M/2偶对称，且M为奇数 M/2 关于pi奇对称，关于2mpi偶对称 关于0,2pi对称，在pi为0，不可高通，带阻
      III h[M-n]=-h[n]关于M/2奇对称，且M为偶数 M/2 关于pi奇对称，关于2mpi奇对称 在0,pi,2pi都为0，只能带通
      IV h[M-n]=-h[n]关于M/2奇对称，且M为奇数 M/2 关于mpi偶对称 在0,2pi为0，不能低通，带阻
  • 时域分析：
    • 系统的微分方程的齐次解是自由响应，特解是受迫响应
    • 零状态 系统储能为0时候单纯由外加的系统响应
      • 零状态也叫初始松弛
    • 零输入 由系统储能引起的响应，不外加机理
    • 卷积
    • 卷积delta(t-t0)等价于时域时移
  • 时域抽样定理·
  • 实频域分析：
    • 正交分解（e^jwn是正交基）
      • 正交 \(\int^{\infty}_{-\infty}{f(x)g(x)dx} = 0\)
    • Fourier级数有限，周期性
    • Fourier变换
    • 带宽
      • 3dB带宽
      • 等效带宽: 谱面积
    • 维纳辛钦定理: 自相关与功率谱是一傅里叶变换对
      • 功率谱*T是能量谱
      • Parseval定理 时域频域能量相等
  • 离散区域
    • 单位冲激 - 单位样值响应
    • 卷积 - 卷积和

抽样

  • 时域采样，频域频谱搬移，满足Nyquist采样，就不会有频谱搬移
    • 通话需求3.4kHz,8KHz采样率；音乐44.1kHz
    • 数字频率\(\omega\)=模拟频率\(\Omega\)
  • 理想抽样
    • 矩形窗抽样(最后采样出来的信号频谱周期延拓的包络是Sinc)
    • 理想冲激采样
      • 冲激串\(F(\sum_{-\infty}^{\infty}{\delta(t-nT_1)})=w_1\sum{\delta(w-nw_1)}\)
  • 平顶采样
    • 可能存在孔径失真-需要频谱校正
  • 实际抽样看做先进行一次理想抽样，然后在经过一个单位冲激响应为p(t)的LTI系统
    • 零阶保持
    • 一阶保持
  • 非均匀量化-A/u率压缩
    • 增加动态范围
  • Nyquist速率
  • 重构滤波器 (频域特性抵消抽样信号(窗)的频域不平坦)
    • 本质上就是一个低通滤器(带上补偿)
  • Why恢复:理想抽样信号的各个冲击响应零点恰好落在其他抽样时刻上(Sinc函数特性),各个抽样时刻的响应不串扰

Fourier变换

  • 非周期，意义是频谱密度函数
  • 存在条件 - Dirichlet条件（充分不必要）
    1. 周期内连续，只有有限个第一类间断点(可去/跳跃)且在
    2. 周期内绝对可积
    3. 周期内极大值极小值个数有限
      • Fourier级数的存在（收敛）条件也是在2pi区间内，满足狄利克雷条件
      • 只有周期函数才有傅里叶级数
      • 傅里叶变换因为看做周期无限长的傅里叶级数级数，所以加上了“绝对可积”的条件
  • Gibs现象
    • 如何理解傅里叶级数分解中的吉布斯现象? - qfzklm的回答 - 知乎
    • 用傅里叶级数展开有间断点的函数时，取任意有限项合成，在原信号间断点处都会有震荡的峰起。当取的项数足够大时，该峰起值趋近于一个常数，约等于该点跳变值的9%
    • 数学
      • 傅里叶级数的部分和，虽然逐点收敛但并不是一致收敛到这个不连续的函数的
      • 函数的傅里叶系数是【绝对收敛】的，那么这个傅里叶级数是【一致收敛】
    • 物理上
      • 矩形窗口过于陡峭，高频成分多，难以拟合，所以要：
        • 找寻其他的窗形 Hanning,Blackman
  • An Interesting View
  • 性质
    • 对称 F(F(w))=2pif(-w) 系数差一个2pi
    • ft 实偶 -> Fw 实偶； ft实奇 -> Fw虚奇
    • 频域微分 > 时域乘t
    • 时域移位(t-t0) - (*e^jw)幅频不变,相频线性变化
      • 时域倒置[-n] - 频域函数对称X(e^(-jw))
    • 频域移位(w-w0) - 时域乘上一个复指数序列
    • 时域卷积频域乘积
  • 变换对
    • 矩形窗 -> Sinc
    • 由对称性
  • Related To Laplace变换
    • 数学上： 傅里叶变化的延拓
    • 信号上: 频域->复频域
      • FT是将信号分解成很多等幅度的余弦信号之和,LT就是将信号分解为无穷多个变幅度的余弦变换之和
      • 时域乘上了一个衰减系数\(e^{-\sigma}\),这样就能够处理一些不稳定的系统
      • 但是本质上不是获取了不满足Dirichlet条件信号的变换，其实是研究带衰减之后的信号的性质，并寻找与原先信号有什么类似的性质
        • 🌟其实就是拿ft的性质推，把f转化为了\(s=\sigma+wj\) vice versa (频域到了复频域)
    • 单边双边？ - 数学上不同,单边积分区域0-/0+ -> 正无穷; 双边 +-无穷
      • 因果信号的变换是单边(Default Case)
        • 单边信号的本质就是加上了阶跃窗之后的双边变换
        • 单边的拉普拉斯逆变换要给x(t)加上u(t)
      • 双边信号(coswt,e^jw0t,直流)
        • 其实可以认为是在两边信号的公共收敛域内部分别做L变换
        • 存在条件 双边信号需要有公共收敛域才存在
    • 收敛域ROC 对于同一个变换,收敛域不同,对应的信号也不同
      • 让t趋无穷时lim(s(t)e^(-st))=0
    • 性质
      • 初值 f(0) = lim(infty)sF(s)
      • 终值 f(infty) = lim(0)sF(s)
      • 时域微分 df(t)/dt = sF(s)-f(0)
    • 逆变换
      • 部分分式
      • 留数
    • 系统函数 单位冲激响应的L变换
    • S域特性
      • 稳定性 极点都在左侧
      • 全通 零极点互为共轭对称
        • 零极点互为共轭倒数的系统幅频响应相同 - H(z)与H*(1/z*)
        • 对于一个不稳定的系统，可以通过级联一个全通的系统，不改变其幅频特性的前提下，将其变得因果稳定（抵消在S平面(单位圆)右边(外)的极点）
      • 系统函数 离散时间系统函数
      • 最小相位系统 零点位于左半平面的稳定系统叫最小相移系统
        • 任何LTI因果系统都可以分解为一个全通和一个最小相移
        • 对幅频特性相同的因果系统中，最小相位系统相位延迟最小；所有实因果系统中，最小相位系统的群延迟最小
        • 系统补偿 补偿出来一个全通系统
      • 逆Z变换 幂级数系数/部分分式/
      • 相位特性: 零点相位-极点相位
  • Related To Z变换
    • Z变换就是离散的Laplace变换
    • 收敛域: 要让\(\sum_{n\to\infty}^{\infty}{x(n)z^{-n}}\)收敛
      • 联系变号级数sum(-1)^n的Lebinz判别
      • 形状与序列的类型有关
        • n>0(无限长因果序列) (a^n*u[n]) 圆外z>a（其实只要是右边序列收敛域都是圆外）
        • n<0(无限长反因果序列) 圆内
        • (无限长双边序列),分两块做Z变换,收敛域为环
        • (有限长序列Z变换)是除了0点无穷点的整个Z平面 在[N1,N2]之间
          • N1>0(因果) 收敛域包含无穷 (0是极点，无穷是零点)
            • 因果序列的收敛域一定包含无穷
          • N2<0(反因果) 收敛域包含0 (0是零点无穷是极点)
          • 双边，是(0,无穷)
    • 也就是不绝对可和的离散序列
      • 当Z的模值为1的时候，Z变换就变成了DTFT
    • Z域特性
      • 因果 (收敛域为z>a);极点分布在一个半径有限的的圆内;单位样值序列为因果序列
      • 稳定 (必要条件)离散系统函数H(z)收敛域包含单位圆(充要)所有极点都在单位圆内
  • Related To 小波变换
    • 能不能通俗的讲解下傅立叶分析和小波分析之间的关系？ - 咚懂咚懂咚的回答 - 知乎
    • FFT的问题:对非平稳信号不能很好的描述(比如f岁时间变化，不同频率成分在时域出现的顺序不同Ft无法区分)
      • Solu: 加窗 STFT
        • 思想： 把整个时域分为无数个等长的小过程，其中每个过程平稳，再做FT，这样就可以解决从哪个时间点开始f变化了
        • 时间分段，过小的话时间频率分辨率不足，过长的话时间分辨率不足,但是STFT的窗长是一定的
        • STFT不能做到正交
          • Solu: 对高频成分用长窗 Wavelet
            • 与小波变换的产生原理不一，但是达到了这样的效果
            • 思路 将无限长的三角函数基底，换成了随时间衰减的小波基
            • 由于小波本身就是一个比较短的信号，包含了时间的信息
            • 采用不同尺度的小波过一遍(这样就可以做到长的窗口对应低f了)
            • 同时还可以解决gibbs效应
  • Other FTs
    • DTFT离散时间傅里叶变换 \(X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega}\)
      • 变换是级数求和（分析式），逆变换有一个系数1/2pi且为积分（综合式）
      • 时域离散 - 频域连续
      • 存在条件
        1. 序列绝对可和(充分不必要),级数绝对收敛
        2. (比上面的稍弱)序列均方收敛(能量有限)，也是充分条件
      • 性质大多数同FT，对称性
        • 把一个序列分解成共轭对称分量 \(x_e[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x^*[n])\) 其有特性xe[n]=xe*[-n]
          • 同理共轭反对称分量 xo[n]
        • 类似的有 Re = 1/2(x+x*)
        • 注意x[n] – X(e^{-jwn })
        • 实部的变化对应传递函数的共轭对称，共轭对称序列对应传递函数的实部 （共轭反对称序列 - j*序列虚部）
        • 共轭对称序列的实部为偶数，虚部为奇；共轭反对称的实部为奇，虚部为偶
        • 对于实序列有频谱函数共轭对称 \(X(e^{jw}) = X^*(e^{-jw})\)
          • 也就是实部为偶，虚部为奇
    • DFS离散傅里叶级数
      • 变换是在周期N内求和，逆变换是在周期N内求和并*1/N
      • 时域频域都离散
      • 由于是周期函数，对应时域的周期卷积,且
        • 对偶性 X[n]->N*x[k]
        • 周期性 x[-n] -> x[rN-n]
        • 对称性仍然有，共轭对称改为周期共轭对称
          • 周期实数序列的DFS实部为偶函数，虚部为奇函数
      • X[k]是频谱函数，而不是频谱密度函数
      • 相当于DTFT的频谱的频域采样，频域周期延拓
        • 采样点数N>主值序列长度L，可以无失真恢复原先的序列
        • 采样点数>窗长
    • Z变换
      • 与DTFT类似，也是一个无穷级数求和，但是加上了复数衰减引子z^{-k}
      • DTFT实际上是Z变换的特殊情况，看做在单位圆上的Z变换
    • 连续时间Fourier级数
      • 时域连续的周期信号，变换域是离散的
    • DFT
      • 时域和频域都为离散的DFS，要求时域频域需要无限长序列，对于周期序列，可以用一个周期来替代多个周期
      • DFT首先需要从有限长序列延拓到序列，其中有现场叫做主值序列
      • DFT本质是DFS在时域频域的主值序列
      • 用于完成线性卷积 当N>L+P-1，可以完成线性卷积
      • FFT 直接计算DFT需要N^2次复数乘法，和N^2-N复数加法
        • 时间抽取(Decimation In Time) 频率抽取(DIF)
        • DIT(将输入序列按照奇偶顺序分解)
          • 先做DFT，后组合，复用旋转因子
          • Log2N级，每级V/2个蝶形，做一次乘法，两次加法
          • 最后输出的是Bit-Reverse-Order
          • 每级别蝶形距离2^{v-1}
          • 储存旋转因子用N/2个
        • DIF (将输出序列按照奇偶顺序分解)
          • 先分组，在做DFT
        • 由FFT得到IFFT
          1. 改变旋转因子，输出序列*1/N
          2. 将共轭序列送入，输出序列的共轭再乘1/N
    • 数字滤波器设计方法
      • 先设计模拟滤波器
        • 冲激响应不变法IIR（脉冲响应序列等于模拟滤波器h(t)的等间隔采样）
        • 双线性变换法IIR
        • 窗函数法设计FIR
        • 频率采样法
      • 实现，信号流图
    • 频域分析方法
      • 加窗，矩形窗的有效宽度是主瓣宽度的一半，是频率分辨率
        • 增加窗长，减小主瓣宽度，提高频率分辨率
      • 频谱泄露 强信号的旁瓣遮挡了有效信号的主瓣
        • 增加窗的长度不会影响旁瓣
      • 栅栏效应 如果两个离散的谱线之间有一个比较大的频谱分量，归因于频率采样点数不足
        • 让谱线更密集，可以减少栅栏效应，但是不会提高频率分辨率

信号无穷积分的问题：

自控原理

  • 模型 闭环传递函数 T \(\frac{G}{1+GH}\)
    • G - 前向传递/ H - 反向传递
    • GH - 前向传递函数
  • 系统的指标
    • 二阶系统 - 自然振动频率；阻尼比
    • “快” - 上升时间(频率大，阻尼比0.707)
    • “稳” - 超调量 (阻尼比大，振动频率小)
    • “准” - 稳态误差
  • 根轨迹(避免高阶的运算，更直观)
    • 开环增益0->无穷，闭环特征根在S平面上的运动曲线
      • 添加极点，曲线向右弯曲
      • 一对，用于校正，距离原点近的起主导
  • 频域分析
    • Nyquist图 - w从0到无穷，G的变化轨迹
      • Nyquist稳定判据：极点都在S平面左侧(映射到F平面)
      • GH曲线绕(-1,0)逆时针转过N，N=0时候稳定
    • Bode Plot
      • 稳定裕度-(Nyquist图上接近(-1,0)点的距离)
        • 相频在-pi时候的幅度
      • 相位裕度 - 幅度为0时候相位与-pi的差
  • 采样系统分析
  • 状态空间法(时域分析)
    • 更适合MIMO且内部耦合复杂的系统
CATALOG
    FEATURED TAGS
    学习笔记 DL 综述 Linux 心得 环境配置 嵌入式 博客 常用 重新学习 Coding 碎片知识 课程 survey 论文阅读 硬件相关
    FRIENDS